Le opzioni reali

In questo sito presentiamo tra l'altro del materiale interattivo per prezzare opzioni reali nelle circostanze in cui il problema del prezzare le opzioni reali si può ricondurre a quello di prezzare le opzioni finanziarie di tipo europeo (“call” o “put”).  Al fine di rendere comprensibile il materiale interattivo che segue iniziamo con il dare una breve descrizione della formula del prezzo di una opzione finanziaria europea di tipo “call” nell'ambito del modello noto come modello di Black e Scholes. Questa formula è anche detta formula di Black e Scholes   [3]. Il nome opzione finanziaria deriva dal fatto che il bene sottostante l'opzione sia un bene scambiato sui mercati finanziari come ad esempio una azione. Nel seguito chiameremo semplicemente opzioni le opzioni finanziarie.

L'opzione europea di tipo “call” su un singolo bene è un contratto stipulato tra due parti, l'acquirente e il venditore, che attribuisce all'acquirente il diritto, ma non l'obbligo, di acquistare una certa quantità del bene considerato in una data futura fissata ad un certo prezzo fissato al momento della stipula del contratto. Il venditore del contratto assume l'obbligo se richiesto di vendere tale quantità al prezzo stabilito. Nel gergo della finanza il bene, “asset”, è detto sottostante, il prezzo fissato nel contratto a cui acquistare  il sottostante nella data futura fissata è detto prezzo di esercizio, “strike price”, ed il giorno in cui il diritto conferito dal possesso dell'opzione può essere esercitato è noto come data di esercizio, “maturity time”.  Per acquistare il diritto di comprare dal venditore il bene con le modalità esposte sopra l'acquirente deve pagare al venditore una certa cifra detta premio. Tale cifra costituisce il valore dell’opzione. Indichiamo con S, K, T il prezzo del sottostante, il prezzo di esercizio e la data di esercizio dell'opzione rispettivamente ed infine indichiamo con V(S,t), S>0, t<T, il valore dell’opzione come funzione del prezzo S del sottostante e del tempo t.

La formula di Black e Scholes è basata sulle seguenti ipotesi sul funzionamento del mercato in cui è scambiato il bene sottostante l'opzione:

a)               il mercato è attivo con continuità nel tempo; 

b)               è possibile comprare o vendere qualsiasi  frazione del bene sottostante;

c)               nel mercato non vi sono costi di transazione;

d)               il tasso di interesse di un investimento privo di rischio è costante e conosciuto;

e)               non ci sono possibilità di arbitraggio;

e assume che il bene sottostante il contratto di opzione non paghi dividendi e che il suo prezzo S soddisfi la seguente equazione differenziale stocastica:

 

^{(1)   ,}

 

dove s, m sono due costanti con s > 0,  la variabile t indica il tempo,  X(t) è  un moto browniano standard e dX è il suo differenziale stocastico. Il prezzo di una opzione europea di tipo “call”  è  noto alla scadenza dell’opzione ed  è dato dalla seguente formula:

 

(2)   ,     S > 0 ,

 

dove max(S-K,0) indica il massimo tra S-K e 0. Inoltre si assume che risulti K > 0.

La formula (2) è detta “payoff” dell’opzione europea di tipo “call”. Black e Scholes in [3] dimostrarono che nelle ipotesi precedentemente enunciate il valore V(S,t), S>0, t< T dell’opzione verifica  la seguente equazione differenziale a derivate parziali:

 

⁽³⁾  

 

dove  indica la derivata parziale prima rispetto al tempo e  indicano le derivate parziali rispetto a S del primo e secondo ordine rispettivamente, r è il tasso di interesse di un investimento privo di rischio.  L’equazione (3) unitamente alla condizione finale (2) costituisce il modello matematico di Black e Scholes per la determinazione del prezzo delle opzioni europee di tipo “call”. Tale modello è stato risolto esplicitamente in [3] ottenendo la ben nota formula di Black-Scholes per il valore V(S,t) di una opzione europea di tipo “call”:

 

(4)  

 

dove

^{(5)   ,}  

e

^{(6)   ,} 

 

^{(7)   ,}

Formule simili possono essere ottenute per le opzioni europee di tipo “put” osservando che in questo caso la formula (2) deve essere sostituita con:

 

(8)   ,    S > 0.

 

Per le opzioni di tipo "put" occorre cioè risolvere il problema (3), (8). Il problema (3), (8) può essere risolto con una formula simile alla formula (4).

Ci limiteremo in questo sito a considerare le seguenti opzioni reali: di differimento, di abbandono, di espansione, di contrazione. Riferiamo le opzioni considerate genericamente alla gestione di un "investimento" o "progetto", progetto che potrebbe essere una piccola impresa o un progetto di ricerca e sviluppo o un portafoglio di brevetti.

Un'opzione di differimento fornisce al detentore la possibilità di differire l'avvio di un investimento ad un momento futuro fissato. In questo modo nel periodo definito di apprendimento o differimento del progetto il decisore può acquisire informazioni utili per l'investimento stesso. Questa opzione ha le caratteristiche di una opzione finanziaria di tipo “call” sul valore del progetto che attribuisce il diritto, ma non l’obbligo, ad effettuare un investimento pagando un prezzo di esercizio pari al valore del progetto alla fine del periodo di differimento. Il sottostante dell’opzione reale è il valore attuale dei flussi di cassa lordi derivanti dal progetto in caso di attuazione dell’investimento, ed il prezzo di esercizio è dato dall’importo dell’investimento iniziale necessario per avviare il progetto.

Un'opzione di abbandono consente di abbandonare un investimento ad un certo tempo futuro prefissato T nel caso in cui i flussi di cassa realizzati siano inferiori alle aspettative. L’abbandono dell’investimento ha come contropartita un “valore di recupero” che cerca di sopperire alla perdita dei flussi di cassa derivante dall’abbandono. Al tempo T quindi, il decisore può decidere o di non esercitare l’opzione (e quindi continuare a gestire l’investimento perché questo è in grado di produrre valore pari o superiore a quanto stimato inizialmente) o di esercitare l’opzione abbandonando l'investimento, ottenendo in cambio il valore di recupero, nel caso in cui il valore dell’investimento, dopo un certo intervallo di tempo, risulti inferiore rispetto alle aspettative. Tale opzione può essere utilizzata come una protezione del capitale impiegato nel progetto di investimento contro il rischio di mercato. Pertanto tale opzione ha le stesse caratteristiche di un’opzione europea di tipo “put”.

Un’opzione di espansione consente al detentore di aumentare il volume di produzione, aumentando le risorse impiegate in un investimento qualora le condizioni di mercato risultino essere più favorevoli di quanto stimato inizialmente. Il detentore dell'opzione potrebbe cioè optare o per il mantenimento della precedente dimensione del progetto o per aumentare la precedente dimensione del progetto sostenendo un costo aggiuntivo. Un’opzione di questo tipo può essere identificata con una opzione di tipo “call” in cui il prezzo di esercizio è dato dall’ulteriore investimento necessario per accrescere la dimensione del progetto e il "payoff" è quello di una opzione “call”.

Un'opzione di contrazione è un'opzione esattamente speculare rispetto all'opzione di espansione. Infatti, di fronte a condizioni di mercato negative, permette di realizzare una contrazione del volume di produzione o di ridurre la dimensione di un progetto o di un investimento ad esempio consentendo di vendere parte del progetto ad un dato valore K. Un’opzione di contrazione è sostanzialmente una opzione finanziaria di tipo “put” in cui il prezzo di esercizio è pari a K ed il sottostante è dato dal valore attuale dei flussi di cassa lordi generabili dal progetto dopo la contrazione.

In definitiva le opzioni reali trattate in questo sito  possono essere interpretate come opzioni finanziarie europee di tipo “call” o “put” come riassunto nella Tabella 1:

TABELLA 1

Opzione reale	“Payoff”
Opzione di differimento	=         (opzione di tipo “call”) dove T = termine del  periodo di differimento, K = investimento iniziale, S = valore attuale dei flussi di cassa  lordi         generabili dal progetto.
Opzione di abbandono	=         (opzione di tipo “put”) dove T = istante in cui può avvenire l’abbandono, K = valore di recupero, S = valore attuale dei flussi di cassa  lordi         generabili dal progetto.
Opzione di espansione	=         (opzione di tipo “call”) dove T = istante in cui si può effettuare         l'espansione del progetto, K = ammontare di investimento aggiuntivo, S = valore attuale dei flussi di cassa aggiuntivi       lordi generabili dal progetto.
Opzione di contrazione	=         (opzione di tipo “put”) dove T = istante in cui si può effettuare         la contrazione del progetto, K = ammontare di investimento a cui si rinuncia        con la contrazione, S = valore attuale dei flussi di cassa lordi        generabili dal progetto  dopo la contrazione.

 

Lo utilizzo delle formule di Black and Scholes nel contesto delle opzioni reali è inoltre fondato sulla assunzione che le ipotesi del modello di Black e Scholes listate in precedenza valgano nel contesto delle opzioni reali e che la equazione (1) descriva il comportamento dei sottostanti le opzioni reali.

Il materiale interattivo contenuto nella Applet 1 permette all’utente di prezzare opzioni finanziarie o reali usando le analogie illustrate nella Tabella 1 dando in ingresso i seguenti parametri che le caratterizzano: